Evolventen-Verzahnung erstellen

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Bei Zahnrädern werden spezielle Kurven benötigt. Am weitesten ist die Evolvente als Form der Zahnflanke verbreitet. In einigen Branchen kommen auch anderen Formen wie Zykloiden als Zahnflanke vor. Für diese Kurven bietet CATIA keine eigenen Funktionen an.

Evolventen und Zykloiden lassen sich als Kurven nicht geschlosssen durch eine Formel beschreiben. Bei ihnen wird auf die parametrische Darstellung zurückgegriffen und Punkte berechnet, durch die eine Kurve gelegt wird. Hier wird beschrieben, wie eine Evolvente konstruiert wird.

Ein Weg zur Berechnung der Koordinaten der Punkte benutzt die Formeln, mit denen die Zahndicke berechnet wird. Ein anderer - genauerer - berechnet die Koordinaten der Punkte aus der parametrischen Darstellung der Kurve. Diesen Weg benutzen wir hier.

Anleitung

Im ersten Schritt legen wir ein paar Parameter an, die wir benötigen:

Parameter

Für die Punkte benötigen wir Koordinaten, die mit der parametrsichen Darstellung der Evolvente berechnet werden. Für die Berechnung benötigen wir zwei Laws, einen für die horizontale Koordinate, eine für die vertikale.

Die beiden Formel lauten:

X= rb * sin(t *PI*1rad) - (rb*t*PI * cos(t*PI*1rad))

Y= (rb * cos(t *PI*1rad)) + (rb*t*PI* sin(t*PI*1rad))

Die Koordinaten X und Y haben nichts mit dem Koordinatensystem zu tun, sondern stehen für die horizontale Achse (X) und die vertikale Achse der Ebene, auf die die Kurve gezeichnet werden soll.

Für beide Formeln legen wir je ein Law an. Allerdings kein geometrisches, wir verwenden statt dessen die Funktion Law aus der Knowledgeware-Toolbar. Das Icon ist hinter dem für Konstruktionstabellen...

Im Law-Editor legen wir als erstes zwei formale Parameter an. t als Parameter für die Berechnung mit dem Typ Real und X bzw. Y als Länge. In das Hauptfeld des Laweditors wird die Formel eingetragen:

Laws

Wenn beide Laws definiert sind, können wir daran gehen, die Punkte für die Evolvente festzulegen und den Spline durch die Punkte zu zeichnen. Die Kurve zeichnen wir auf die XY-Ebene, allerdings direkt im Generative Shape Design, nicht im Sketcher. Der Grund ist einfach: Wir müssen die Kurve noch verlängern, dafür gibt es im Sketcher kein Werkzeug - oder ich habe es noch nicht gefunden...

Von der Kurve benötigen wir den Parameterbereich von 0 bis 0.5, das heißt, dass wir 6 Punkte benötigen. Wir könnten jetzt die Punkte als Koordinatenpunkte auf eine Ebene setzen und für die einzelnen Komponenten der Koordinaten eigene Formeln eingeben. Das wären dann 6 Punkte und 12 Formeln. Es geht auch mit weniger Formeln und damit übersichtlicher.

Dazu werden Parameter vom Typ Point angelegt und mit einer Formel versehen. Die Formel lautet allgemein:

Point.X=point(`Relations\X-Koordinate`.Evaluate(t), `Relations\Y-Koordinate`.Evaluate(t), 0mm)

Mit ihr werden die Punkte auf die XY-Ebene gelegt. Die Variable t wird von 0 bis 0,5 in Schritten von 0,1 vergrößert, bis wir die 6 Punkten haben.

Für den Spline wählen wir die Punkte der Reihe nach von innen nach außen im Baum aus.

Kurve

Danach ziehen wir drei Kurven ein: Den Wälzkreis, den wir für die Zeichnung benötigen, sowie Kopf- und Fußkreis. Für den Fußkreis benötigen wir einen zusätzlichen Parameter, den Zahnfußfaktor c, der zwischen 0,1 und 0,3 gewählt wird. Wir legen ihn auf 0,2 fest. Für die Radien von Kopf- und Fußkreis müssen wir keinen Parameter festlegen. Bei ihnen greifen wir direkt auf die Parameter des Kreises zu.

Die Formeln für Kopf- und Fußkreis lauten:

RKopf = rw+m

RFuss = rw-(1+c)*m

Wir benötigen jedoch nur die Kreisbögen im Bereich unser Evolvente.

Kreise

Zwischen der Evolvente und dem Fußkreis haben wir eine Lücke. Diese schließen wir, indem wir die Evolvente mit Extrapolate krümmungsstetig verlängern. Den Spline und den Punkt wählen wir im Baum aus. Die Länge berechnet sich aus dem Abstand zwischen Grundkreis und Fußkreis. Die Formel lautet dann

Verlaengerung= 1,5*abs(rb/1mm - RFuss/1mm) *1mm.

Damit haben wir die Evolvente gezeichnet. Die andere Zahnflanke können wir mit einer Spiegelung erhalten. Leider liegt die Spiegelebene schräg im Raum. Doch mit welchem Winkel?

Hier greifen wir auf die geometrische Konstruktion zurück. Wir benötigen dazu den Schnittpunkt. Zusammen mit der Z-Achse bildet dieser Punkt eine Eingabe für eine Hilfsebene. Eine zweite Ebene wird im Winkel dazu erstellt. Der Winkel? Er errechnet sich mit

Winkel= 360°/(4*Z)

An dieser Ebene spiegeln wir unsere Evolvente.

Spiegelung


Danach trimmen wir beide Zahnflanken am Kopfkreis und runden gegen den Fußkreis aus. Die Zahnkurve mit den Radien wird dann mit der Kurve des Fußkreises getrimmt, sodaß wir eine geschlossene Kurve bekommen.

Mit dieser Kurve erstellen wir unseren Zahn als Block und mustern ihn. Danach wird der Körper des Rades als Welle modelliert und das Loch für die Wellen gebohrt.

Zahnrad

Siehe auch